数学物理方法 I 2017秋冬学期


作业统计
作业需至少交满十次。需要补交作业的同学请在考试前补交。
总成绩由平时成绩(40%,主要由作业成绩判定,部分参考期中考试成绩)和期末考试成绩(60%)构成。

参考教材

  • 数学物理方法 梁昆淼
  • 数学物理方法 吴崇试
  • Mathematical Methods for Physicists, Arfken, Weber, Harris
  • 教学安排 (初步)

    复变函数部分

  • 第一课 (2017.09.18)复数及其运算,复平面,映射
  • 第二课 (2017.09.20)复微分,柯西-黎曼方程,解析函数
    作业 (周一课堂交!):梁昆淼书(下称梁书)1.1节,1.(2), (4), (6); 2.(4), (6); 3.(4), (6), (8);
    1.2节, 1; 2.(2), (4), (6), (8); 1.4节, 1; 2.(2), (4), (6), (8), (10); 3.
    书外题:求出原像 \(|z-1|=2\) 在映射 \(w=f(z)=2+1/z\) 下的象。
    注意,之前作业布置有误,现已纠正。感谢袁同学指出!
  • 第三课 (2017.09.25)多值函数,支点,割线,复变函数的积分初步
  • 第四课 (2017.09.27)柯西定理,不定积分 作业
  • 第五课 (2017.10.09)柯西积分公式
  • 第六课 (2017.10.11)幂级数,泰勒展开。 作业
  • 第七课 (2017.10.16)洛朗级数,奇点分类,解析延拓。
  • 第八课 (2017.10.18)留数定理。
    作业: 梁书3.5节:(1),(2),(4),(6),(8),(10),(12);
    梁书3.6节:(1),(2),(3);
    梁书4.1节:1.(2),(4),(6),(8),(9);2.(1),(2),(3),(4)。
  • 第九课 (2017.10.23)留数定理的应用。
  • 第十课 (2017.10.25)留数定理的应用续;鞍点近似。 作业
  • 第十一课 (2017.10.30)傅立叶级数和傅立叶积分。
  • 第十二课 (2017.11.1)傅立叶变换和delta函数。
    作业:梁书5.1节:1,3,4.(1),4.(3),4.(5)。补充题:1. 求以\(2\pi\)为周期的矩形波的傅立叶级数,当\( 0 < x < \pi \)时,f(x)=h,当\( \pi < x < 2 \pi \)时,f(x)=-h。
    2. 设f(x)平方可积,证明\(\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi [f(x)]^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2)\). 此即Parseval恒等式。设\(f(x)=x^2= \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos nx}{n^2} , -\pi \leq x \leq \pi\), 应用Parseval恒等式求出\(\zeta_4 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} \)的值。
    梁书5.2节:1,2,3.
    补充题:在积分意义上证明:\(x \frac{d\delta(x)}{dx} = - \delta(x) \).
  • 期中测验答案
  • 第十三课 (2017.11.22)拉普拉斯变换及其逆变换。
    作业:梁书6.1节:(1),(2),(3),(4); 6.2节:1.(2),1.(4),2,4,6,8,10.
  • 第十四课 (2017.11.27)拉普拉斯变换的应用。
  • 第十五课 (2017.11.29)数学物理方程的导出(I)
    作业:梁书6.3节:1.(1),(3);3,5,6,9,12.(1),(4);7.1节:1,2,3.
  • 第十六课 (2017.12.4)数学物理方程的导出(II)
  • 第十七课 (2017.12.6)PDE的初始和边界条件,二阶线性PDE的分类
    作业:梁书7.1节4,6,8,10;7.2节1,3,4,8;7.3节1.(1),(3),(5),(7)。
  • 第十八课 (2017.12.11)常系数PDE的化简;波动方程的达朗伯解
  • 第十九课 (2017.12.13)分离变量法(1)
    作业:梁书7.3节2.(1),(3),(5);7.4节1,2,4,6,8;8.1节1,2,4,5,8,9。
  • 第二十课 (2017.12.18)分离变量法(2)
  • 第二十一课 (2017.12.20)拉普拉斯方程和非齐次方程的求解
    作业:梁书8.1节 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 27; 8.2节 1, 2, 3, 4, 5 ,6,7。
  • 第二十二课 (2017.12.25)非齐次边界条件和泊松方程
  • 第二十三课 (2017.12.27)非直角坐标中的变量分离
    作业:梁书8.3节:1,2,3,5;8.4节:1,2,3;9.1节:1. (8.3节第五题答案 (超出考试范围,不作要求)
  • 第二十四课 (2018.1.3)二阶常微分方程在常点的级数解
    作业:梁书9.1节:2,3;9.2节:1,2,3,4.
  • 第二十五课 (2018.1.8)二阶常微分方程在正则奇点邻域的级数解,朗斯基行列式
  • 第二十六课 (2018.1.10)二阶常微分方程在正则奇点邻域的级数解,斯图姆-刘维尔问题
    作业:梁书9.3节:1,2,5,6,7.

    课外延伸阅读

  • 徐一鸿:数学在基础物理中的有效性
  • 维格纳:数学在自然科学中不合理的有效性 (上) (下)
  • 右键点击下载:黎曼zeta函数及其解析延拓
  • 右键点击下载:傅立叶级数与音阶
  • 抛物微分方程与庞加莱猜想。

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